所得税が0円なのに、住民税が0円でない場合がある理由

所得税の基礎控除額　38万円
住民税の基礎控除額　33万円

簡単にいうと、基礎控除額が違うからです。
実際の計算方法とかは、居住地の自治体のHPに書かれているのでそこで確認すればOKかと思います。

40万円の収入があった時は、
40万（収入）-38万（基礎控除額）　＝　2万円
となり、２万円に対して所得税がかかるということです。

所得税を10％とすると、2千円を所得税として払うことになります。

38万円なら、当然、所得税はかかりません。

　配偶者の「所得」が38万円以下（給与収入103万円以下）であれば、納税者本人の所得から配偶者控除（所得税38万円、住民税33万円）を控除することができます。配偶者の所得が38万円から76万円の間（給与収入103超～141万円以下）である場合には、所得額に応じて配偶者控除を徐々に減らしていく配偶者特別控除が適用されます。（納税者本人の所得が1,000万円以下（給与収入で約1,231万円以下）であることなどの条件があります。）
連合｜所得税・住民税はどうなりますか？（労働者派遣に関するＱ＆Ａ）

ここで、収入が38万円の場合を考えてみます。
38万（収入）-38万（基礎控除額）　＝　0万円（所得税の控除後の金額）
38万（収入）-33万（基礎控除額）　＝　5万円（住民税の控除後の金額）

所得税

所得税だけ考えると以下のような感じになります

■副業、自営業
38万円（基礎控除額）（確定申告白色）＝38万円
38万円（基礎控除額）+10万円（確定申告,簡易帳簿　青色申告控除）＝48万円
38万円（基礎控除額）+65万円（確定申告,複式簿記　青色申告控除）＝103万円

■アルバイト、パート
38万円+65万円（給与所得控除）＝103万円

上記の金額までは所得税はかからないってことになります。
ただし、住民税は基礎控除額が違うので、かかる場合が出てくるということになります。